Questions de Rita

Salut monsieur!


Je vous écris, car j'ai plusieurs questions et j'aimerai que vous me répondiez avec des démarches s'il vous plaît!!!! Cela va beaucoup m'aider!!!
voici mes questions pour le chapitre 8:


1) Dans le numéro 7d, je ne comprend pas pourquoi pour le vecteur AB, lorsqu'on calcule l'angle directeur gamma, il faut faire: 180-148 pour obtenir 32 degré alors que pour le vecteur CD, il suffit seulement de faire arc cos -8/racine carre 65. Bref, je ne sais pas quand faire 180- l'angle.


2) dans le numéro 15b, je n'arrive pas a obtenir le bon angle. j'obtiens 42 degré et la réponse est 40.1 degré. les coté AB et AC ne sont pas perpendiculaires ,car si on les multiplie, on obtient 36 au lieu de 0. comment faire??


3) J'ai beaucoup de misère dans les problèmes suivants: 26R,28 b et c, 30 et 31. Lorsqu'il s'agit de trouver un vecteur parallèle à deux autre ou perpendiculaire ou n'importe j'ai beaucoup de difficulté. Existe-il un truc? J'aimerai voir vos démarches pour c'est exercices si c'est possible.


4) Dans le numéro 38, comment peut-on savoir si les points sont situés dans le même plan. Je sais que le volume du parallélépipède se calcule à l'aide de la formule suivante: |U.(VxW)|. Mais je ne sais pas si à la place de (VxW), jdois metre (ABxAC) ou (ABx AD) je ne sais pas si vous me compreniez . J'ai de la misère à m'exprimer. Peut- etre l'exemple du numéro 37 peut vous aider à me comprendre. Pourquoi il a fallu faire |W.(UxV)| au lieu |U.(VxW)|???


ps: excusez moi pour mon mauvais langage mathématique. Je n'arrivais pas à faire le symbole de la racine carrée et les flèches pour les vecteurs.


Je vous laisse avec ces questions et je vais continuer mes études et faire le chapitre 9 afin de vous poser d'autres questions hihi


Merci beaucoup!
Au revoir
Rita Frenn

Premièrement, j'aimerais que vous me donniez le numéro de la page pour chacune de vos questions, cela m'aiderais beaucoup beaucoup beaucoup. Merci
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page 328, question 7 d) :

A(1,2,-3)
B(4,-2,5)
C(-5,-2,3)
D(-6,-2,-5)
E(4,-4,-3)
F(2,-1,3)

On cherche les angles directeurs des vecteurs AB_, CD_ et EF_ (underscore signifie vecteur)

AB_=[3 -4 8]
CD_=[-1 0 -8]
EF_=[-2 3 6]

Chose interessante à remarquer: « Les cosinus directeurs d'un vecteur v_=[a b c] sont donnés par les composantes du vecteur unitaire. »

v_ / ||v_|| =[a/racine(a^2+b^2+c^2) b/racine(a^2+b^2+c^2) c/racine(a^2+b^2+c^2)]

En effet, c'est comme ça qu'on a défini les cosinus directeurs (voir page 307)

cos(alpha)=a/racine(a^2+b^2+c^2)
cos(beta)=b/racine(a^2+b^2+c^2)
cos(gamma)=c/racine(a^2+b^2+c^2)

Alors

AB_ / ||AB_|| = [3/racine(89) -4/racine(89) 8/racine(89)] est le vecteur les cosinus directeurs et
les angle directeurs sont :

alpha = arccos(3/racine(89)) = 71,45°
beta = arccos(-4/racine(89)) = 115,09°
gamma = arccos(8/racine(89)) = 32,01°

CD_ / ||CD_|| = [-1/racine(65) 0 -8/racine(65)] est le vecteur les cosinus directeurs et
les angle directeurs sont :

alpha = arccos(-1/racine(65)) = 97,13°
beta = arccos(0) = 90°
gamma = arccos(-8/racine(65)) = 172,87°

Je vous laisse trouver les angles directeur de EF_.
Remarque: On a pas à faire 180° - angle. Il suffit d'«unitariser» le vecteur pour trouver les cosinus directeurs et ensuite prendre l'arccos sur chacune des composantes pour obtenir les angles directeurs.
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page 328, question 15 b) :

Premièrement, je sais pas comment on fait pour multiplier 2 côtés ??? Ok, j'arrête de faire comme si je ne comprennais pas ce que tu me disais. Tu veux dire faire le produit scalaire de vecteurs.

Deuxièmement, c'est tout à fait normal que le produit scalaire de AB_ et de AC_ soit non nul parce que sinon le triangle ABC serait dégénéré. En outre, j'obtient 33 et non 36 pour le produit scalaire entre AB_ et AC_.

La mesure de l'angle au sommet est donné par la mesure de l'angle entre les vecteurs AB_ et AC_:

D'après la formule de mesure d'un angle entre deux vecteurs,

theta = arccos(AB_ . AC_ / ||AB_|| ||AC_||)
= arccos([1 -1 5] . [2 4 7] / (racine(27) racine(69)))
= arccos(33 / racine(1863))
= 40,13°

Remarque: Cette formule permet de calculer l'angle entre deux vecteurs. Elle donne toujours un angle compris entre 0 et 180°. Par ailleur, le calcul avec les vecteurs BA_ et AC_ , par exemple, donne l'angle supplémentaire à 40,13°, c'est-à dire 139,37°. Il faut donc faire attention à l'orientation des vecteurs pour répondre à ce type de question.
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page 329, question 26 r): S'il y a un problème avec ça, alors il faut absolument venir me voir ce lundi.

En gros, il faut résoudre un système d'équation linéaire associé à l'équation vectoriel au_ + bv_ = w_ et voir s'il existe au moins une solution.
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page 330, question 28 b) c):

b) On cherche une base orthononale de R^3:

Il suffit de prendre B = { u_ , v_ , u_ x v_ }

En effet, une base orthogonale est une base pour laquelle les vecteurs sont orthogonaux deux à deux.
Ici, le vecteur u_ x v_ est orthogonal à u_ et à v_ (Propriété du produit vectoriel) et on sait par a) que les vecteurs u_ et v_ sont orthogonaux entre eux. Donc, il s'agit bien d'un ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux. Il reste à vérifier que c'est une base (un ensemble de vecteurs lin. indep. et générateur) de R^3.
Il suffit de montrer que ces trois vecteurs sont lin. indep. (th.11.7 p.459) puisqu'ils vivent dans un espace vectoriel de dimension 3.

c) On cherche une base orthonormale de R^3:

Il suffit de prendre B = { u_ / ||u_||, v_ / ||v_||, u_ x v_ / ||u_ x v_ ||}

Des explications?
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page 330, question 30 et 31:

L'idée est toujours la même.

1. Si l'on cherche un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs, disons u_ et v_, il suffit de prendre le produit vectoriel de u_ et de v_.

u_ x v_ et v_ x u_ sont de tels vecteurs.

2. Si de plus on le veut unitaire, il suffit de multiplier par l'inverse multiplicatif de la norme.

u_ x v_ / ||u_ x v_ || et v_ x u_ / ||v_ x u_ || sont de tels vecteurs.

3. Si de plus on le veut de longueur k, il suffit de multiplier par k.

k(u_ x v_) / ||u_ x v_ || et k(v_ x u_) / ||v_ x u_ || sont de tels vecteurs.
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page 331, question 38:

On sait que la valeur absolue du produit mixte donne le volume du parallélépipède formé par trois vecteurs. (Interprétation géométrique du produit mixte)

La valeur absolue est importante parce qu'un produit mixte se calcule à l'aide d'un déterminant et que l'ordre dans lequel nous plaçons les lignes d'un déterminant change le signe du déterminant.

Un parallélépipède est une « boîte potentiellement penchée ». Un prisme droit est un exemple particulier de parallélépipède qui n'est pas « penché ». Pensons au parallélépipède formé par les vecteurs i_, j_ et k_. Évidemment, ce parallélépipède est un cube de volume 1. Nous pouvons le déterminer à l'aide du produit mixte:

En classe, j'ai noté det(u_, v_, w_) pour signifier le déterminant dont la première colonne est le vecteur u_, la deuxième colonne est le vecteur v_ et la troisième colonne est le vecteur w_. On sait aussi que le déterminant d'une matrice carrée A est égal au déterminant de la tranposée de A (propriété des déterminants). Alors on peut aussi utiliser cette notation pour signifier le déterminant dont la première ligne est le vecteur u_, la deuxième ligne est le vecteur v_ et la troisième ligne est le vecteur w_. (Nous allons comprendre que l'on peut utiliser cette notation selon le contexte)

Alors, le volume du paralélogramme formé par les vecteurs i_ ,j_, et k_ est donné par
V = | i_ . (j_ x k_) | = | det(i_ ,j_, et k_) | = 1 comme attendu.
On voit donc que la valeur absolue est importante puisque j_ . (i_ x k_) = det(j_ ,i_, et k_) = -1

De même, si l'on cherche à calculer le volume du parallélépipède formé par les vecteurs u_ = [2 3 -1], v_ = [3 6 -1] et w_ = [1 2 1], on peut y arriver en calculant V = | det(u_ ,v_,w_) | = |4| = 4 ou bien encore V = | det(v_ ,u_,w_) | = |-4| = 4.

Remarque: En fait, on peut monter que le produit mixte u_ . (v_ x w_) est positif si et seulement si u_ et v_ x w_ pointe du même côté par rapport au plan engendré par les vecteurs v_ et w_. Par exemple on sait que 2i_ + 2j_ + 2k_ est un vecteur qui pointe du même côté que i_ x j_ = k_ par rapport au plan des xy. Donc, le volume du parallélépipède formé des vecteurs 2i_ + 2j_ + 2k_, j_ et k_ est

V = 2i_ + 2j_ + 2k_ . ( i_ x j_) = det(2i_ + 2j_ + 2k_, i_, j_) = 2 (sans valeur absolu)
ou encore
V= | i_. ( 2i_ + 2j_ + 2k_ x j_) | = | det(i_, 2i_+ 2j_ + 2k_, j_) | = |-2| = 2

Morale de l'histoire, il vaut mieux toujours mettre la valeur absolue pour calculer le volume d'un parallélépipède.

Il faut savoir aussi que le produit mixte est nul si et seulement si les vecteurs sont coplanaires (le parrallélépipède formé par les vecteurs est un parrallélépipède dégénéré.)
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J'espère que j'ai répondu à tes questions,
JC