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Message  Admin le Mer 13 Mai - 12:08

Voici quelques questions qui demandent une réponse:

1- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=0} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.

2- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=1} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.

3- Est-ce que R^n avec l'addition u_ + v_ = 0_ et la multiplication par un scalaire kv_=0_ est espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple. (Il faut bien comprendre que u_ et v_ sont des vecteurs de R^n, 0_ le vecteur nul et k un scalaire réel.)

Je reviendrai,
JC

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Bon!

Message  Admin le Ven 22 Mai - 3:25

Bon bon bon!

Comme je vois que les gens sont un p'tit peu trop timide pour répondre, je vais répondre.

Je sais que mon message à été vu 31 fois depuis, mais bon...

1 - Le premier n'est pas un espace vectoriel bien évidemment puisque que cet espace n'est pas fermée pour l'addition. Il suffit de prendre les vecteurs i_=[1 0] et j_=[0 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais i_ + j_ = [1 1] qui n'est pas dans V.

2 - De mème, pour le deuxième: Prenons u_ = [-1 -1] et v_=[1 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais u_ + v_ = 0_ qui n'est pas dans V.

3 - La troisième question nous renvois aux opérateurs dits triviaux. L'addition et le produit par un scalaire envoient tout sur le vecteur nul. Voyons voir:

Propriétés de l'addition:

Fermeture: Évident puis que le vecteur nul est dans R^n: u_ + v_ = 0_ eR^n
Commutativité: u_ + v_= 0_ = v_ + u_
Associativité: u_ + (v_ + w_) = u_ + 0_ = 0_ = 0_ + w_ = (u_ + v_) + w_
Existance d'un neutre: Je penses qu'on arrête ici!

Quelqu'un peut-il terminer de répondre à la question ?
Pourquoi je m'arrête ici ?
Est-ce que c'est un e.v. ?

Soyez pas timide! Ce serait tellement cool de voir ce dont vous êtes capable.

Je reviendrai,
JC

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